Espacio Profundo

Fernando Mazzone · Publicado: Mar May 27, 2008 10:34 am **Asunto**:

Querido cumpa, no entiendo muy bien tu argumento.

Chicos hagamos un experimento más simple. Supongamos que en vez de 12 meses son 3 meses.

Quedamos de acuerdo, creo que nadie discute eso, que hay que armar tèrminos que son la suma de los dos anteriores. La duda es si después los términos obtenidos de esa manera hay que sumarlos a todos o no.

El primer mes hay una pareja(la original), el segundo hay una pareja (no hay que sumar lo que hay el primer mes con lo que hay en el segundo porque es la misma pareja) y el tercer mes hay dos parejas (la original y una descendiente) ¿no?

Se nos forma la sucesión

1 1 2

El tercer mes es la suma de los dos anteriores, Ahora, cuantas parejas hay en el tercer mes, como ya dijimos hay dos, y no 4 que resultaría de sumar todos los términos de la sucesión 1, 1, 2 .

Quieren probar una mes más, el cuarto. Allí solo se reproduce nuevamente la original, pues su descendiente todavía no pocreo, Como había dos en el mes tres y se reproduce solo 1 entonces habrá tres en el mes cuatro, justamente la suma de los dos meses anteriores.

1,1,2,3

y no 7 que resultaría de sumar todos los términos de la sucesión.

Saluditos.

Miguel · Publicado: Mar May 27, 2008 12:21 pm **Asunto**:

Querido Colega y amigo.

Estuve entretenido completando la tabla, que de por si se va complejizando, hice hasta el mes 4 (osea 12,11,10,9,8,7,6,5,4), dejé los más grande sin hacer porque me cansé!!!!! Very Happy

No es dificil de entender, lo que hice fue pensar la siguiente situación: en el mes 12, el 1er conejo forma una pareja que no alcanza a reproducirse.
En el mes 11, tiene otra pareja, que tampoco alcanza a reproducirse.
En el mes 10 tiene otra pareja que si alcanza a formar otra pareja.

Y así siguiendo el razonamiento se va completando la tabla.

Esta tabla, a medida que la confeccionaba me dí cuenta que tiene cosas asombrosas, por ejemplo, si sumo lateralmente los conejos que hay en cada mes, obtengo otra vez a Fibonacci!
Tambien, en cada mes en particular, si sumo la cantidad de columnas que ocupan las camadas, obtengo el número de Fibonacci anterior!

Muy interesante todo.

Bueno, creo que ahora se hace aún más facil ver que para obtener la cantidad total de parejas hay que sumar los parciales. Very Happy

Fernando Mazzone · Publicado: Mar May 27, 2008 1:27 pm **Asunto**:

No sé ya que decir, insisto en que el problema es que sumas todas las caritas de tu tabla, pero no hay una correspondencia 1 a 1 de caritas con parejas de conejos ya que varias caritas representan la pareja inicial en distintos momentos.

Hago un último intento y me doy por vencido

En el mes uno hay 1 pareja inmadura

En el mes 2 hay 1 madura

Supongo que todos estarán de acuerdo con esto, nadie va a decir que hay 2 parejas sumando el resultado del mes uno con el dos. Ahora yo me pregunto si esto es así en el mes dos, porque los suman a todos en el mes 12?. Porqué en ningún mes intermedio hicieron la suma de todos los anteriores? Porque eso lo hacen justo con el 12? No se lo veo tan claro como el agua.

Pero sigamos

En el mes 3, al fin la pareja inicial se reprodujo y tenemos dos parejas

1 inmadura y 1 madura

Nadie va a decir que hay cuatro parejas, sumando los resultados de los primeros 3 meses, ya que como se darán cuenta la pareja madura es la misma pareja que viene del primer mes. Aparte de que con este análisis vamos obteniendo el total de conejos que hay.

En el mes 4 se reprodujo la inicial de nuevo y la otra maduró así tenemos

1 inmadura y 2 maduras es decir 3 parejas

Y no la suma de totos los meses anteriores, que es 7. Ya que hay una pareja que es la inicial que está en todos los meses, y la que maduró ya es la misma que la de los dos meses anteriores.

Si al cabo de un año suman los resultados parciales a la pareja inicial la cuentan 12 veces a la que nació en el mes 3 la suman 10 veces, etc, etc.

Otra cosa es que no es sorprendente Miguel que te aparezcan los números de Fibonacci en tu tabla, cuando sumas por filas, eso es porque las filas de tu tabla son la solución del problema.

Miguel, no te lo dije con mala onda, pues no entendí la numeración en la tabla, ni los números que ponés, ni (lo más importante) que tiene que ver la tabla con el 376. Lo que si me parece darme cuenta es que sumás la cantidad total de caritas y eso no está bien.

No se maten haciendo tablas para los 12 meses ni haciendo el análisis de atras para adelante. Hagan el análisis en unos poquitos meses y después diganme si es cierto o no que suman todos los números de fibonacci anteriores. Digamos 3 o 4 meses. Se van a dar cuenta que no.

Por último, sino me creen, busquen en la web y van a encontrar infinidad de sitios donde explica el problema y su solución 144. p.ej.

http://www.interactiva.matem.unam.mx/aurea/html/conejos.html

Saludos.

Betelgeus · Publicado: Mie May 28, 2008 9:05 am **Asunto**:

Hola, no sé los demás pero yo estoy convencida de que la respuesta es 144 (en realidad las parejas producidas son 143 + una que ya existía: 144). El tema es que muchos no entendimos bien el enunciado y pensamos que desde el primer mes la pareja inicial ya comenzaba a reproducirse y he aquí el problema: algunos dicen que de ser así al final habría docientas y pico parejas, por mi parte creo que el número es 376 (+ una que ya existía 377).

Fernando Mazzone · Publicado: Mie May 28, 2008 9:33 am **Asunto**:

Bien Marcela. Ahora entiendo tu punto, empezas con 2 parejas de conejos, o lo que es lo mismo te vás a 14 meses, y la respuesta final es el 14 número de fibonacci que es 377.
A un resultado parecido se llega, y yo creo que de ahí parte la confusión, si se suma todo los números de fibonacci del 1 al 12, en realidad se llega a 376. Yo creo que empezar de 1 o 2 parejas (o ir a 14 meses) es intrascendete, ahora decir que hay que sumar todos los números de fibonacci es un error conceptual y conduce a un error de cálculo pues se obtiene 376 y no 377 que sería el resultado de empezar con 2 parejas

La proximidad no es casual, por el siguiente problema que les dejo. Denotemos por F(n) al enésimo número de Fibonacci, es decir

F(1)=1;
F(2)=1;

y

F(n)=F(n-1)+F(n-2)

Problema Justificar la siguiente fórmula

F(1)+F(2)+F(3)+.........+F(n)=F(n+2)-1

LA veracidad de esta fórmula hace que cuando sumaban todos los resultados "parciales" F(1)+F(2)++....+F(12) el resultado fuese 376=F(14)-1 (Pues F(14)=377).

Un abrazo

Chuli · Publicado: Mie May 28, 2008 2:24 pm **Asunto**:

Como dice Fer, con porotos se solciona. Hay que olvidarse de Fibonaci y su sucesión y contar porotos!!!!!!!!

Fernando Mazzone · Publicado: Jue May 29, 2008 5:25 pm **Asunto**:

Eduardo:

Lo de los porotos que mencioné lo dije en serio. Es la siguiente simple propuesta, que me parece se puede llevar a cabo muy rapidamente.

Junten una cantidad de objetos suficiente (porotos o lo que sea) y dos vasos.
Llamemos a los vasos A y B.

Cada poroto representará una pareja. Los vasos representarán el estado en el que se encuentra la pareja. A saber:

En el vaso A vamos a colocar las "parejas-porotos" que deben aguardar que pase un mes para procrear.

En el vaso B las "parejas-porotos" que están listas para procrear.

Entonces la regla de reproducción se puede ver de esta forma.

R1)Un poroto en el vaso A al mes siguiente pasa al vaso B. Es decir ya cumplió con el tiempo de maduración.

R2) Un poroto en el vaso B, al mes siguiente queda en el B pero se reproduce es decir hay que agregar un poroto al vaso A.

Obviamente hay que aplicarle estas reglas a cada poroto de los 2 vasos.

Si siguen estas reglas por 12 pasos, la cantidad de porotos que al final quedan en el vaso A más los de B es la solución del problema.

Veamos

Mes 1) Un poroto en el vaso A

Mes 2) Un poroto en el vaso B. por la regla R1 hay que pasar el poroto en A a B, la R2 no se aplica porque no hay nada en el vaso B.

mes 3) 1 en A y 1 en B . R1 no se aplica pues (en el mes 2) no hay nada en el A y por R2 se deja el poroto de B en B y se agrega uno al A.

mes 4) 1 en A y 2 en B. Por R1 paso el poroto de A a B y por R2 dejo uno en B y agrego 1 en A.

Siguiendo de esta forma, yo creo que se forma esta sucesión:

mes 5) 2-A ; 3-B
mes 6) 3-A ; 5-B
mes 7) 5-A; 8-B
mes 8 ) 8-A; 13-B
mes 9) 13-A; 21-B
mes 10) 21-A; 34-B
mes 11) 34-A; 55-B
mes 12) 55-A; 89 -B

Vale decir quedaron 144=89+55 parejas.

Fijensé que de este modo podemos comprender la regla que dice que las parejas de un mes determinado son la suma de los dos anteriores.

Pues noten que:

Los porotos que en un mes se forman en el vaso B se obtienen dejando los que tiene B en el mes anterior y llevando los de A a B. De este modo,

C1: la cantidad de porotos que hay en un mes en el vaso B es la misma que las que hay en en el A más la de B en el mes anterior. Vale decir en B queda el total de "parejas-porotos" del mes anterior

¿Cuántos porotos nuevos se agregan en un mes ?

C2: Se agrega la misma cantidad que hay en B en el mes anterior

Paremonos en un mes cualquiera, digamos el 100. Entonces :

Según C2 en el mes 100 tengo los porotos del mes 99 más los que tengo en el vaso B en el mes 99.

Pero por C1 en el vaso B en el mes 99 tengo lo de los dos vasos del mes 98. Es decir todos los del mes 98.

Así lo que tengo en el mes 100 es lo que tengo en el 99 más lo del 98.

Por último quería agregar que quizas no fue oportuno mi comenterio sobre los porotos, si explicar a que me estaba refiriendo. Por eso edité mi mensaje.

Un abrazo.

Baxter · Publicado: Jue May 29, 2008 5:28 pm **Asunto**:

ya los veo a vos y miguel contando porotos en traslasierra...
Very Happy

Chuli · Publicado: Jue May 29, 2008 5:33 pm **Asunto**:

Y yo lo tomé en serio también!
Lo de olvidarse de Fibonaci lo dije porque el problema me parece que se transformó en algo mecánico en vez de pensado, y con porotos queda clarísimo!!! Pone sobre la mesa lo que tenemos y vamos agregando lo que se suma y así al final de año hay lo que hay Razz

Saludos!!!

Miguel · Publicado: Jue May 29, 2008 5:35 pm **Asunto**:

Yo llevo la gráfica el lleva los porotos! Very Happy

Pero seguro que no le damos bola, preferimos compartir una buena noche entre amigos.

Fer, perfectamente comprendida tu intención, gracias por tu aclaración.

Abrazos