Universo de Einstein-de Sitter. a(t) = (t/t0)2/3
El universo de tipo Einstein-de Sitter es el caso más sencillo de universo dominado por materia y, consecuentemente, en expansión desacelerada.
La constante de Hubble en este caso puede ser calculada como
H0 =1/a da/dt = 2/(3 t)
Por tanto, el radio de Hubble será rH = c/H0 = 3/2 c t0
Los objetos que están a esta distancia tendrán se alejarán del obserador a la velocidad de la luz. La distancia r a un objeto puede calcularse como la distancia recorridad por la luz c dt amplificada por la expansión del universo en una cantidad directamente proporcional al cambio del factor de escala a(t0)/a(t) = 1/a(t) =(t/t0)-2/3 = (1+z). Y por tanto tendremos que la distancia a un objeto de desplazamiento al rojo z viene dada por

donde vemos que el desplazamiento al rojo de los objetos en la esfera de Hubble tienen que cumplir 2 [1-(1+z)-1/2] = 1 ó z = 3

La esfera de Hubble se aleja del observador a una velocidad igual a 3/2 c, lo que significa que las galaxias que se encontraban fuera de esta esfera la cruzan hacia el interior a una velocidad relativa de 1/2 c. En otras palabras, el número de galaxias dentro de la esfera de Hubble aumenta con el tiempo.
Vemos por tanto que galaxias (superlumínicas) que se encuentran en algún momento fuera de la esfera de Hubble terminan por entrar y convertirse en sublumínica. La luz emitida por esta galaxia empieza en algún momento a acercarce al observador terminando por alcanzarlo en algún momento.
¿Y el horizonte de partículas?. Si calculamos la integral

rP = r (z®¥) = 3 c t0

obtenemos una respuesta finita, lo que implica la existencia de un horizonte de partículas y por tanto un universo observable finito.
La velocidad de recesión del horizonte de partículas es de 3 c, mientras que la velocidad de recesión de las galaxias es v = H0 rP = 2/3 t0 3 c t0= 2 c
lo que implica que nuevas galaxias entran en el universo observable a velocidad c, y a medida que transcurre el tiempo podemos ver mayor parte del universo. A consecuencia de esto, el modelo de Einstein-de Sitter carece de horizonte de eventos.


Universo en expansión exponencial. Universos tipo deSitter.
a(t) = exp [(t-t0)/t0]

Los universos de tipo de Sitter tienen gran importancia en el escenario conocido como inflación donde el universo se expande exponencialmente con una tasa de expansión tremenda (doblando su tamaño unas 80 veces en unos meros 10-33 s).
En este caso la constante de Hubble permanece realmente constante con el tiempo pues H = 1/a da/dt = 1/t0
t0 representa en este caso un tiempo característico de expansión que no tiene por qué tener ninguna relación en principio con la edad del universo. Por ello es más conveniente escribir el parámetro de expansión como
a(t) = exp [H (t-t0)]
Siendo t-t0 el intervalo de tiempo considerado.
Debido a la constancia de la constante de Hubble, el radio de Hubble permanece fijo. Por tanto, las galaxias saldrán del radio de Hubble a la velocidad de la luz.
Tendremos que la distancia a un objeto de desplazamiento al rojo z viene dada por

r(z) = c z/H

Y los objetos que se encuentre a desplazamiento al rojo z = 1 se alejan del observador a la velocidad de la luz.
El horizonte de partículas se encontraría a una distancia r (z®¥) y por tanto arbitrariamente lejos del observador. En otras palabras, un universo tipo de Sitter carece de horizonte de partículas y podemos decir que todos los objetos estuvieron en algún momento suficientemente cerca para que la luz pudiera llegar hasta nosotros (este hecho implica que inflación resuelva el problema del horizonte).
Sin embargo, debido a que los objetos salen de la esfera de Hubble a la velocidad de la luz, la luz de objetos que se encuentren más allá de la esfera de Hubble (z > 1) empezará a alejarse del observador, y por tanto, sucesos que ocurran ahora mismo a distancias mayor que el radio de Hubble no serán nunca observables aún en un futuro arbitrariamente lejano. La esfera de Hubble actúa por tanto como un horizonte de eventos.


Comparación entre un modelo de expansión desacelerada (arriba) y uno en expansión acelerada (abajo). La esfera de referencia es proporcional al factor de escala. El universo observable aumenta proporcionalmente al tiempo. En un universo acelerado el universo observable aumenta más rápidamente que el factor de escala con lo que cada vez podemos ver mayor parte del universo. En cambio, en un universo en expansión acelerada (abajo), la escala aumenta de manera exponencial mientras el universo observable aumenta de la misma manera que en el caso anterior. La cantidad de objetos que podemos ver disminuye con el tiempo y el observador termina por quedar aislado del resto del universo.


Una manera intuitiva de entender la existencia de los diferentes tipos de horizontes es mediante el uso de diagramas espacio-tiempo conformes. En un diagrama espacio tiempo conforme se representa en el eje horizontal la distancia comóvil r frente al tiempo conforme t en el eje vertical siendo
t = ò dt/a(t) . En esas coordenada los rayos de luz tienen trayectorias rectas de la forma r = t0 -t siendo t0 el tiempo conforme en el momento de observación.

El observador se encuentra en el punto O. El radio del universo observable es la distancia OP formada por todos los objetos desde donde ha podido llegar la luz (lineas rojas) hasta el observador en algún momento desde el Big Bang (línea horizontal inferior de la figura). El momento en que el fondo cósmico de microndas empieza a viajar libremente sin interaccionar con la materia (indicado con la línea horizontal azul) marca el límite del universo visible (distancia OD).
Es importante apreciar el hecho de que los sucesos indicados con c son los sucesos más lejanos del observador que han podido ser influidos por lo sucedido en su pasado mutuo. Por simple geometría se puede ver a partir del triángulo en rojo, que esta distancia mínima OC = OP/3. En otras palabras, objetos que se encuentren en direcciones opuestas del cielo y situados en menos de 1/3 del radio universo observable están causalmente conectados.
También se puede notar que si la integral ò dt/a(t) diverge cuanto t®0 estaremos en un universo con edad conforme infinita (aunque su edad sea finita) y por tanto sin horizonte de partículas, pues en principio los rayos de luz pueden proceder de cualquier objeto, por muy alejado que se encuentre. Esto se puede compreder fácilmente en el diagrama prolongando el eje vertical infinitamente hacia el pasado.
El otro caso interesante es cuando la integral ò dt/a(t) converge cuanto t®¥. En este caso estaremos en un universo limitado en el futuro en tiempo conforme y con un horizonte de eventos.

Modelo con constante cosmológica.

En la figura (Lineweaver 2003) se pueden ver tres representaciones espacio-temporales equivalente de un universo con Wm ~ 0.3 y Wl ~0.7 en el que –según parecen indicar observaciones recientes– nos hallamos. La línea central vertical corresponde al observador comóvil. Las líneas discontinuas representan las líneas de mundo de galaxias lejanas etiquetadas por el desplazamiento al rojo que mide el observador hoy en día.
El primer recuadro es una representación de la distancia propia frente al tiempo de expansión como medido por el observador comóvil. En el pasado inmediato del observador, el cono de luz (light cone) es un cono (como en relatividad especial). Pero a medida que nos vamos al pasado toma forma de lágrima, de tal forma que la luz que nos llega hoy en día de los objetos más lejanos estuvo alejándose de nostros en los primeros eones de expansión, una característica común a todos los modelos de un universo en expansión.
En el segundo recuadro se elimina la expansión del universo al representar la distancia comóvil radial (fija para cada galaxia) en lugar de la distancia propia. En esta representación podemos observar cómo el horizontes de eventos se estrecha contra el observador a medida que el futuro del universo está dominado por el efecto de la constante cosmológica. El universo se comporta como un modelo de deSitter, donde la esfera de Hubble actuará como horizonte de eventos y las galaxias lejanas irán desapareciendo paulatinamente de nuestra vista hasta que sólo podamos contemplar las galaxias más próximas que tienen hoy en día desplazamientos al rojo considerablemente menores que la unidad.
El tercer cuadro es un diagrama conforme espacio-temporal donde se puede observar cómo las galaxias más lejanas que podemos observar (horizonte de partículas) se hallan hoy en día a 47 mil millones de años luz. Vemos como en sólo 13,5 mil millones de años de expansión, ha dilatado las distancias entre las galaxia de tal forma que los fotones se mueven por el espacio comóvil a una velocidad que en cada momento es c/a(t) = (1+z) c.